1. 什么是矩陣圖

20世紀(jì)末，有一部非常有名的科幻電影《The Matrix》(譯名為《黑客帝國(guó)》)。《黑客帝國(guó)》三部曲展現(xiàn)的是，人們所生活的世界是由一個(gè)巨大的計(jì)算機(jī)智能“矩陣”控制的虛擬世界，一切看似“真實(shí)”的信息由其創(chuàng)造并傳播，人類(lèi)為了自由與“矩陣”斗爭(zhēng)。

 

 

在數(shù)學(xué)中，矩陣（Matrix）是一個(gè)按照長(zhǎng)方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合，最早來(lái)自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣。這一概念由19世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家凱利首先提出。

矩陣是高等數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)工具，也常見(jiàn)于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。在物理學(xué)中，矩陣在電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用。當(dāng)前非常熱門(mén)的計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，如機(jī)器學(xué)習(xí)、人工智能、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)都是基于矩陣形成的算法。

可以預(yù)見(jiàn)的是，通過(guò)計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用，以質(zhì)量知識(shí)庫(kù)等為基礎(chǔ)，質(zhì)量管理也將向智能化進(jìn)化。

矩陣在組織管理中有很多應(yīng)用，比如風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估矩陣、概率影響矩陣、道斯矩陣(SWOT分析)、職責(zé)分配矩陣RAM(RACI)、散點(diǎn)圖矩陣、相關(guān)性矩陣、優(yōu)先級(jí)矩陣、波士頓矩陣等，使用這些矩陣可以更有效和高效進(jìn)行戰(zhàn)略決策、質(zhì)量管理、項(xiàng)目管理和持續(xù)改進(jìn)等，矩陣圖則是質(zhì)量管理人員常用的QC新七種工具之一。

 

 

 

矩陣圖，是從需要分析的事項(xiàng)中找出成對(duì)的因素組，分別排成行和列，找出行與列交叉點(diǎn)的關(guān)系或相關(guān)性的大小，從而探討問(wèn)題點(diǎn)的一種方法。

矩陣圖可以展現(xiàn)2組或2組以上成對(duì)因素間的關(guān)系，同時(shí)能獲得更多的相關(guān)性信息，其特點(diǎn)如下：

(1) 分析成對(duì)的影響因素，方便做多元性評(píng)估；

(2) 成對(duì)因素之間的相關(guān)性清晰明了，便于確定重點(diǎn)；

(3) 可根據(jù)多元性評(píng)估，將潛伏的各項(xiàng)因素找出來(lái)；

(4) 在系統(tǒng)圖、關(guān)聯(lián)圖、親和圖等手法已分析至極限時(shí)，可以結(jié)合使用矩陣圖。

例如時(shí)間管理四象限法，實(shí)際上就可以看作是按照“緊急”和“重要”2組成對(duì)因素（時(shí)間組：緊急/不緊急是一組，重要程度組：重要/不重要為另一組）組成的矩陣圖，只不過(guò)是更加清晰地放在二維坐標(biāo)軸的四個(gè)象限里而已。

 

 

 

在復(fù)雜的質(zhì)量問(wèn)題中，往往存在許多成對(duì)的質(zhì)量因素。可以將這些二元因素找出來(lái)，形成矩陣圖，在此基礎(chǔ)上再找出存在的問(wèn)題及問(wèn)題的形態(tài)，從而找到解決問(wèn)題的思路。

在確定二元因素交叉點(diǎn)時(shí)，可以進(jìn)行團(tuán)隊(duì)頭腦風(fēng)暴。如果交叉點(diǎn)能夠取得數(shù)據(jù)，就按照計(jì)量型數(shù)據(jù)標(biāo)出；如果無(wú)法取得數(shù)據(jù)時(shí)，則依經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)換成計(jì)數(shù)型數(shù)據(jù)再?zèng)Q定。

有時(shí)候二元因素交點(diǎn)的重要度各不相同，可以用文字或數(shù)據(jù)寫(xiě)在交點(diǎn)上，使重要度更明確，也可用各種記號(hào)區(qū)別。

2. 矩陣圖的類(lèi)型

可以根據(jù)所分析因素的成對(duì)組數(shù)不同，把矩陣圖按照形狀進(jìn)行分類(lèi)。常用的矩陣圖有：L型、T型、Y型、X型、C型和屋頂型(Roof Shaped Matrix)等，形狀的不同取決于成對(duì)因素組數(shù)的多少。

L型矩陣圖

用矩陣的行和列排列成的二元表A&A或A&B來(lái)表達(dá)一組成對(duì)因素A、A或兩組成對(duì)因素A、B，形似字母‘L’，所以稱(chēng)為L(zhǎng)形矩陣圖。L型矩陣圖是最基本的矩陣圖，非常適用于表示兩組成對(duì)因素之間的關(guān)系或相關(guān)性的大小，在組織中最為常見(jiàn)且使用者較多，例如員工素質(zhì)矩陣。

 

 

 

T型矩陣圖

是三組因素A、B、C組成的兩個(gè)A&B、A&C的L型矩陣圖合在一起形成的矩陣圖，形似字母‘T’，所以稱(chēng)為T(mén)形矩陣圖。T型矩陣圖可以清楚表達(dá)A、B、C 間三組成對(duì)因素的關(guān)系，譬如可用于分析質(zhì)量問(wèn)題“缺陷一原因一工序”之間的關(guān)系，也可用于新產(chǎn)品或新材料開(kāi)發(fā)“成分一特性一用途”之間的關(guān)系等。

 

 

 

Y型矩陣圖

是三組因素A、B、C組成的三個(gè)A&B、B&C、C&A的L型矩陣圖合在一起而形成的矩陣圖，形似字母‘Y’，所以稱(chēng)為Y形矩陣圖。Y形矩陣圖可以清楚表達(dá)A、B、C三組成對(duì)因素彼此間的關(guān)系。

 

 

 

X型矩陣圖

是四組因素A、B、C、D組成的A&B、A&C、C&D、B&D的L型矩陣圖合在一起形成的矩陣圖，形似字母‘X’，所以稱(chēng)為X形矩陣圖。X形矩陣圖可以清楚表達(dá)A&B、A&C、C&D、B&D四組成對(duì)因素間的相互關(guān)系。

 

 

 

C型矩陣圖

是以A、B、C三組因素為邊所形成的六面體，A&B&C所確定的三維空間上的交叉點(diǎn)表示A、B、C三組因素間的關(guān)系，形似字母‘C’，所以稱(chēng)為C形矩陣圖。

C形矩陣圖比較復(fù)雜，類(lèi)似三維散點(diǎn)圖，但是又有所不同，有興趣的朋友可以自己總結(jié)兩者的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。

 

 

 

屋頂型矩陣圖

一組因素A、A或兩組因素A、B的L型或T型矩陣圖合在一起使用，以表示一組因素組內(nèi)的關(guān)系或兩組因素的相互關(guān)系及組內(nèi)的關(guān)系，其中組內(nèi)的關(guān)系形狀類(lèi)似于“屋頂”，所以稱(chēng)為屋頂型矩陣圖。屋頂型矩陣圖常用于QFD，利用多組成對(duì)因素形成帶“屋頂”的質(zhì)量屋，QFD是加強(qiáng)版的屋頂型矩陣圖。

 

 

 

除了以上矩陣圖外，還有P型矩陣圖 ，是由A、B、C、D、E五組因素組成的L型矩陣圖合在一起形成的矩陣圖。

 

 

不同形狀矩陣圖的適用場(chǎng)合如下表：

 

 

 

3. 矩陣圖的應(yīng)用

在組織管理、個(gè)人工作和日常生活中，矩陣圖均有非常廣泛的應(yīng)用，以下僅列出幾個(gè)方面，供讀者參考：

(1) 競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手分析；

(2) 新產(chǎn)品策劃和實(shí)現(xiàn)；

(3) 新課題研究，新產(chǎn)品、新材料開(kāi)發(fā)；

(4) 根本原因分析；

(5) 優(yōu)先級(jí)排序；

(6) 多因素關(guān)系分析；

從PDCA的角度，矩陣圖的應(yīng)用總結(jié)如下：

 

 

矩陣圖利用多元的思考方式和各因素間的組合關(guān)系，著眼于由行的因素與列的因素所構(gòu)成的二元因素交叉點(diǎn)，在短時(shí)間內(nèi)從二元因素的分配中探索問(wèn)題的所在及問(wèn)題的型態(tài)，分析現(xiàn)象、問(wèn)題與原因三者之間的關(guān)聯(lián)性，探求解決問(wèn)題的構(gòu)想，進(jìn)而獲得解決問(wèn)題的對(duì)策。下面僅列出部分應(yīng)用場(chǎng)景，有興趣的讀者可以自行總結(jié)。

1）根本原因分析

當(dāng)過(guò)程中存在多種不良現(xiàn)象，且它們具有若干個(gè)共同的原因時(shí)，希望搞清這些不良現(xiàn)象及其產(chǎn)生原因的相互關(guān)系，就可以應(yīng)用矩陣圖，分析產(chǎn)生不良的原因及其影響因素，并結(jié)合其他質(zhì)量工具，進(jìn)行根本原因分析并采取糾正預(yù)防措施，把這些不良現(xiàn)象一舉消除。比如：

a. 為提高產(chǎn)品質(zhì)量，降低客戶(hù)投訴，以質(zhì)量特性和缺陷組成L型矩陣圖，或者以質(zhì)量特性、工序和缺陷組成T型矩陣圖，分析質(zhì)量特性、工序和缺陷的關(guān)系和相關(guān)性，并尋求對(duì)策以采取糾正預(yù)防措施；

b. 進(jìn)行質(zhì)量改善，將一次交檢合格率FPY、工序和生產(chǎn)節(jié)拍組成C型矩陣圖進(jìn)行相關(guān)性分析，進(jìn)而采取措施提高FPY和返工返修率；

c. 將設(shè)備利用率、生產(chǎn)效率和產(chǎn)品合格率三組因素組成Y型矩陣圖進(jìn)行相關(guān)性分析，以確定提高OEE的措施；

d. 管理評(píng)審時(shí)，匯總最近幾年三方審核時(shí)出現(xiàn)的不合格項(xiàng)，結(jié)合發(fā)生的過(guò)程、職責(zé)和措施，形成X型矩陣圖，以評(píng)價(jià)質(zhì)量體系的有效性并找到改進(jìn)的機(jī)會(huì)。

6sigma方法論中的測(cè)量階段，使用因果矩陣C&E（Cause & Effect Matrix)進(jìn)行流程輸入分析，這時(shí)的C&E矩陣也可以看作是簡(jiǎn)化版的QFD，而C&E的輸出可以用于FMEA及control plans中進(jìn)行更深入的分析。

 

 

 

2）質(zhì)量功能展開(kāi)QFD

比如新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)時(shí)，利用矩陣圖，從設(shè)計(jì)到生產(chǎn)的每個(gè)過(guò)程都進(jìn)行質(zhì)量功能展開(kāi)，明確客戶(hù)要求的產(chǎn)品特性或服務(wù)特性與實(shí)現(xiàn)這些特性的過(guò)程之間的關(guān)系，找到改進(jìn)切入點(diǎn)，從而提高設(shè)計(jì)質(zhì)量、縮短開(kāi)發(fā)周期并降低成本。

日本企業(yè)應(yīng)用QFD是非常成功的。應(yīng)用QFD的企業(yè)，成本可以削減50%，開(kāi)發(fā)時(shí)間縮短30%，生產(chǎn)率提高200%。上世紀(jì)70年代后期，日本豐田公司在應(yīng)用QFD后，取得了巨大的經(jīng)濟(jì)效益，能夠以每三年半時(shí)間投放一項(xiàng)新產(chǎn)品。與此相比，同時(shí)期的美國(guó)汽車(chē)公司卻需要5年時(shí)間才能夠把一項(xiàng)新產(chǎn)品推向市場(chǎng)。

 

 

 

3）風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估

利用矩陣圖可以評(píng)估各種風(fēng)險(xiǎn)，從組織戰(zhàn)略、運(yùn)營(yíng)、設(shè)備故障、產(chǎn)品質(zhì)量、ESH乃至日常生活的個(gè)人投資等，都可以通過(guò)矩陣圖，簡(jiǎn)單明了表達(dá)出風(fēng)險(xiǎn)的程度或相關(guān)性。

在汽車(chē)、鐵路等行業(yè)，使用FMEA等工具，通過(guò)對(duì)產(chǎn)品特性和過(guò)程特性進(jìn)行失效評(píng)價(jià)，進(jìn)一步提高產(chǎn)品的可靠性。在完成失效模式、失效影響、失效起因和控制的初始確認(rèn)以及嚴(yán)重度S、頻度O和探測(cè)度D的評(píng)級(jí)后，必須確認(rèn)是否需要進(jìn)一步采取措施來(lái)降低風(fēng)險(xiǎn)。由于資源、時(shí)間、技術(shù)和其它因素的固有限制，必須選擇如何最好地將這些工作進(jìn)行優(yōu)先排序。

2019年發(fā)布的FMEA第5版手冊(cè)使用措施優(yōu)先級(jí)（AP）方法代替RPN，提供了所有1000種S、O、D的可能組合。根據(jù)不同的S、O、D組合，可以通過(guò)查表確定相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)控制措施的優(yōu)先級(jí)（AP）。

針對(duì)不同AP優(yōu)先級(jí)，采取有針對(duì)性的措施降低風(fēng)險(xiǎn)級(jí)別，同時(shí)也可以判定現(xiàn)有的控制是否充分。該方法首先著重于嚴(yán)重度，其次為頻度，然后為探測(cè)度。其邏輯遵循了FMEA的失效預(yù)防目的。

 

 

4）試驗(yàn)設(shè)計(jì)DOE

使用DOE時(shí)，通常要做多因子試驗(yàn)，在y=f(x₁,...x_i,...,x_n)中，如果試驗(yàn)的因素x_i較多，可能就需要對(duì)試驗(yàn)因素進(jìn)行篩選。這時(shí)可以對(duì)一些歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行整理或者完全可靠的經(jīng)驗(yàn)理論分析，然后應(yīng)用矩陣圖，來(lái)減少試驗(yàn)因子，再使用一些低解析度的兩水平試驗(yàn)或者專(zhuān)門(mén)的篩選試驗(yàn)來(lái)尋找優(yōu)化的試驗(yàn)結(jié)果，以減少試驗(yàn)投資和縮短試驗(yàn)周期。

 

 

 

5）多因素分析

本文開(kāi)始時(shí)，我們說(shuō)過(guò)矩陣圖上各因素間交叉點(diǎn)的關(guān)系，如果能用數(shù)據(jù)表示，就可以量化交叉點(diǎn)的相關(guān)性。如果因素比較多，也就是多個(gè)變量，人工分析處理這些數(shù)據(jù)可能比較困難，這時(shí)就需要用計(jì)算機(jī)進(jìn)行矩陣解析，通過(guò)計(jì)算機(jī)建模整理和分析，確定哪些因素是相對(duì)比較重要的。

譬如，當(dāng)我們進(jìn)行產(chǎn)品設(shè)計(jì)選擇方案時(shí)，往往需要對(duì)內(nèi)外部的多種因素加以考慮。對(duì)多種因素的信息和數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和過(guò)濾后，即使已借助矩陣圖等工具，可能仍無(wú)法對(duì)這些因素的重要性進(jìn)行評(píng)估和排序。

新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)、質(zhì)量評(píng)價(jià)、質(zhì)量功能展開(kāi)QFD、根本原因分析、試驗(yàn)設(shè)計(jì)DOE、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)等情況，如果因素較多，情況比較復(fù)雜時(shí)，用計(jì)算機(jī)進(jìn)行多因素矩陣解析，可以快速確定哪些因素是重要的質(zhì)量特性。

現(xiàn)代制造業(yè)進(jìn)行產(chǎn)品設(shè)計(jì)時(shí)，已廣泛使用CAE(Computer Aided Engineering)求解分析復(fù)雜工程和產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)力學(xué)性能，把產(chǎn)品各個(gè)環(huán)節(jié)的因素中的信息集成起來(lái)，使其產(chǎn)生并存在于產(chǎn)品的整個(gè)生命周期。通過(guò)應(yīng)用CAE，可以在產(chǎn)品設(shè)計(jì)初期，即圖紙?jiān)O(shè)計(jì)階段，通過(guò)建立基本的計(jì)算機(jī)分析模型，對(duì)所設(shè)計(jì)的產(chǎn)品進(jìn)行強(qiáng)度、壽命及特性預(yù)測(cè)，從而指導(dǎo)產(chǎn)品設(shè)計(jì)，使產(chǎn)品設(shè)計(jì)指標(biāo)得到保證，有效地提高設(shè)計(jì)產(chǎn)品的可靠性，縮短設(shè)計(jì)周期。

 

 

 

4. 矩陣圖應(yīng)用舉例

我們?cè)跈z查表和柏拉圖兩篇文章中提到，某公司為了降低產(chǎn)品AT25 B88 2020的泄漏率，已采取了一些措施，將泄漏率降低到1.66%。但是對(duì)標(biāo)國(guó)外兄弟工廠此類(lèi)件的泄漏率水平<1%，還有很大的改善空間，所以立項(xiàng)對(duì)這個(gè)產(chǎn)品的泄漏率進(jìn)行改善。

質(zhì)量部IPQC主管組織了一次頭腦風(fēng)暴，團(tuán)隊(duì)成員提出的16條改進(jìn)建議如下：

 

 

 

上面的改進(jìn)建議涉及到多種類(lèi)別，團(tuán)隊(duì)將這些方案用矩陣圖進(jìn)行評(píng)估和排序，選出較好的方案。團(tuán)隊(duì)根據(jù)評(píng)估矩陣排序結(jié)果，得出最優(yōu)的方案為對(duì)圓盤(pán)焊接參數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)。